Discussioni astronomiche
 

Sestante: dimostrazione geometrica del principio della doppia riflessione

Gino Di Ruberto IK8QQM - K8QQM 8 Nov 2014 14:36
Cari amici,
poiché in rete si trovano molte informazioni sull'uso pratico del sestante
ma solo cenni sugli aspetti teorici che ci sono dietro, spero che questo mio
post possa essere utile a qualcuno.

Questa spiegazione fa riferimento alla seguente *****ura:
https://drive.google.com ******* d/0B1HAjDQZDrJbZk9Wc1BVa2dsbUE/view?usp=sharing

Il sestante serve a misurare l'angolo di elevazione di un astro, per esempio
il Sole, rispetto all'orizzonte.
Il sestante è cos*****uito da uno specchio mobile S1, da uno specchio fisso
semitrasparente S2 e da un cannocchiale con un mirino M ove si pone
l'occhio. Il mirino viene puntato verso l'orizzonte O la cui vista non viene
impedita dallo specchio semitrasparente S2. Se lo specchio mobile S1 ha la
posizione giusta, cioè forma il giusto angolo rispetto allo specchio S2,
allora accade che un raggio luminoso proveniente da un astro, per esempio
dal Sole S, dopo essere stato riflesso prima da S1 e poi da S2, giunge al
mirino M; in tal caso, quindi, all'occhio dell'osservatore sarà visibile,
oltre all'orizzonte O, anche il Sole S sovrapposto ad esso.
E' per questo che le misure con il sestante si svolgono mutando la posizione
di S1, ossia mutando l'angolo che esso forma rispetto a S2, fino trovare il
giusto angolo con il quale l'osservatore dal mirino M vede S che va a
sovrapporsi con O. Ma, come dimostreremo tra poco, vale il principio della
doppia riflessione in base al quale, ogni volta che un raggio luminoso
subisce una doppia riflessione in un piano, l'angolo di deviazione, cioè
l'angolo tra il raggio incidente sul primo specchio e il raggio emergente
dopo essere stato riflesso dal secondo specchio, è esattamente il doppio
dell'angolo tra i due specchi. Allora, (osservare la *****ura) se S1 forma il
giusto angolo rispetto a S2, l'angolo di elevazione del Sole S rispetto
all'orizzonte O è esattamente il doppio dell'angolo tra i due specchi S1 e
S2. Pertanto, basta misurare l'angolo tra S1 e S2 per ricavare
immediatamente l'angolo di elevazione del Sole.
La scala del sestante viene graduata in maniera doppia in modo da leggere
direttamente il doppio dell'angolo formato dai due specchi.

Principio della doppia riflessione:
se un raggio subisce una doppia riflessione in un piano, allora l'angolo di
deviazione, cioè l'angolo tra il raggio incidente sul primo specchio e il
raggio emergente dopo essere stato riflesso dal secondo specchio, è
esattamente il doppio dell'angolo tra i due specchi.

Dimostrazione:
Consideriamo un raggio luminoso proveniente da una sorgente S che venga
riflesso da uno specchio S1 in un punto A e poi da uno specchio S2 in un
punto B. Sia α l'angolo formato dai due specchi S1 e S2; sia δ l'angolo di
deviazione, cioè l'angolo tra il raggio incidente su S1 e il raggio
emergente dopo essere stato riflesso da S2; vogliamo dimostrare che δ = 2α .
Indichiamo con i1 l'angolo di incidenza del raggio proveniente da S sullo
specchio S1, che è l'angolo tra questo raggio e la normale allo specchio S1.
Come è noto, l'angolo di riflessione è uguale all'angolo di incidenza,
quindi il raggio riflesso da S1 forma rispetto alla normale lo stesso angolo
i1.
Indichiamo poi con i2 l'angolo di incidenza del raggio riflesso da S1 sullo
specchio S2, che è l'angolo tra questo raggio e la normale allo specchio S2.
Anche ora, l'angolo di riflessione è uguale all'angolo di incidenza, quindi
il raggio riflesso da S2 forma rispetto alla normale lo stesso angolo i2.
Tracciamo una retta parallela alla normale ad S2 e passante per il punto A,
come indicato in *****ura.
Si ha
i1 = angolo BAH = angolo BAG + angolo GAH
ma
angolo BAG = angolo ABF = i2
perché sono angoli alterni interni tra le due rette parallele AG e BF.
Inoltre
angolo GAH = angolo BEA = α
perché l'angolo tra le due normali è uguale all'angolo tra i due specchi.
Sos*****uendo nell'espressione di i1, otteniamo

i1 = i2 + α (equazione 1)

Adesso, ricordiamo che la somma degli angoli interni in un triangolo è
uguale a 180°.
Applicando questa regola al triangolo BFC, si ha
angolo FBC + angolo BFC + angolo BCF = 180°
Ma
angolo FBC = i2
perché è proprio l'angolo di riflessione del raggio sullo specchio S2;
angolo BFC = 90° - α
perché è l'angolo complementare all'angolo α nel triangolo rettangolo BEF;
angolo BCF = 180° - angolo ACD
perché se nel punto C sommiamo i due angoli BCF e ACD otteniamo un angolo
piatto.
Sos*****uendo, otteniamo

i2 + (90° - α) + (180° - angolo ACD) = 180°

ossia

angolo ACD = i2 + 90° - α (equazione 2)

Infine, ragionando sul triangolo ACD, si ha
angolo ADC + angolo ACD + angolo CAD = 180°
Ma
angolo ADC = δ
perché è l'angolo opposto al vertice, quindi uguale, rispetto all'angolo di
deviazione;
angolo ACD ha l'espressione data dall'equazione 2;
angolo CAD = 90° - i1
perché è l'angolo opposto al vertice, quindi uguale, rispetto all'angolo che
il raggio proveniente da S forma con S1, il quale è complementare all'angolo
che il raggio proveniente da S forma con la normale a S1, ossia all'angolo
i1;
ma ricordando l'espressione di i1 data dall'equazione 1, si ha
angolo CAD = 90° - (i2 + α)
Sos*****uendo, otteniamo

δ + (i2 + 90° - α) + [90° - (i2 + α)] = 180°

ossia

δ = 2α

come volevasi dimostrare.
--
Gino Di Ruberto, IK8QQM
(american callsign K8QQM),
Associazione Ra*****amatori Italiani,
Sezione di Napoli;
Co-Segretario *****turale Unione Astrofili Napoletani,
335.8414439.

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